Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость

Для расчёта на устойчивость должна быть известна критическая сила для заданной стойки. Необходимо установить, по какой формуле следует вычислять критическую силу, т. е. надо сопоставить гибкость стойки с предельной гибкостью для её материала.

Вычисляем величину предельной гибкости, так как табличных данных о λ,_пред для материала стойки не имеется:

Для определения гибкости рассчитываемой стойки вычисляем геометрические характеристики ее поперечного сечения:

Определяем гибкость стойки:

и убеждаемся, что λ < λ_пред, т. е. критическую силу можно опреде­лить ею формуле Эйлера:

Вычисляем расчетный (действительный) коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, n_у > [n_у] на 5,2%.

Пример 2.87. Проверить на прочность и устойчи­вость заданную стержневую систему (рис. 2.86), Материал стержней — сталь Ст5 (σ_т = 280 Н/мм 2 ). Требуемые коэффи­циенты запаса: прочности [n] = 1,8; устойчивости [n_у] = 2,2. Стержни имеют круглое поперечное сечение d₁ = d₂ = 20 мм, d₃ = 28 мм.

Решение

Вырезая узел, в котором сходятся стержни, и составляя уравнения равновесия для действующих на него сил (рис. 2.86)

устанавливаем, что заданная система статически неопре­делима (три неизвестных усилия и два уравнения ста­тики). Ясно, что для расчета стержней на прочность и устойчивость необходимо знать величины продольных сил, возникающих в их поперечных сечениях, т. е. нужно раскрыть статическую неопределимость.

Составляем уравнение перемещений на основе диа­граммы перемещений (рис. 2.87):

или, подставляя значения изменений длин стержней, по­лучаем

Решив это уравнение совместно с уравнениями ста­тики, найдем:

Напряжения в поперечных сечениях стержней 1 и 2 (см. рис. 2.86):

Их коэффициент запаса прочности

Для определения коэффициента запаса устойчивости стержня 3 надо вычислить критическую силу, а это тре­бует определения гибкости стержня, чтобы решить, какой формулой для нахождения N_Kp следует воспользоваться.

Итак, λ₀ < λ < λ_пред и крити­ческую силу следует определять по эмпирической формуле:

Коэффициент запаса устой­чивости

Таким образом, расчет пока­зывает, что коэффициент запаса устойчивости близок к требуемо­му, а коэффициент запаса проч­ности значительно выше требуемого, т. е. при увеличении нагрузки системы потеря устойчивости стержнем 3 вероят­нее, чем возникновение текучести в стержнях 1 и 2.

Тема: Определение критической силы для сжатия бруса большой гибкости

1. Величину критической силы при осевом сжатии стержней в пределах пропорциональности определяют по формуле Эйлера:

2. Критическое напряжение, соответствующее критической силе, определяют по формуле:

где

— модуль продольной упругости материала стержня,

— момент инерции сечения стержня относительно оси мень­шей жесткости, т. е. наименьший из двух моментов инерции относительно центральных осей,

— длина стержня, м (см);

— коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня. Для случая шарнирного закрепления обоих концов стержня для случая одного жестко защемленного, а другого свободного кон­цов для случая обоих защемленных концов для случая одного защемленного, а другого шарнирно закрепленного концов

3. Гибкость стержня определяют по формуле:

— минимальный радиус инерции сечения, определяемый по формуле:

4. Допустимую силу и допускаемое напряжение при продольном изгибе определяют по формулам:

где —нормативный коэффициент запаса устойчивости, завися­щий от материала стержня. Для стальных стоек для чугунных для деревянных

Так как критическое напряжение не должно превышать преде­ла пропорциональности материала стержня, то величина гибкости Я, при которой применимы приведенные формулы определения кри­тической силы и критического напряжения, должна удовлетво­рять условию:

где — предел пропорциональности материала стержня.

Для стержней малой гибкости, для которых формула Эйлера не применима, критическое напряжение можно определить по эм­пирической формуле:

где — коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжения. В табл. 36 приведены значения коэффи­циентов a, b и с для некоторых материалов.

Допускаемое напряжение при продольном изгибе можно рассмат­ривать, как некоторую часть от допускаемого напряжения на простое сжатие:

Коэффициент называется коэффициентом уменьшения основ­ного допускаемого напряжения на сжатие или коэффициентом про­дольного изгиба. Коэффициент продольного изгиба зависит от материала и гибкости стойки. В табл. 37 приведены значения коэффициента в зависимости от материала и гибкости , При расчете стоек на устойчивость необходимо стремиться к тому, чтобы глав­ные центральные моменты инерции были -равны между собой, так как при этом будет лучше всего использована площадь попереч­ного сечения.

Задания для выполнения работы: смотри приложение № 1

,

Вопросы для самопроверки:
1. Какое равновесие называется устойчивым?
2. Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость?
3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критиче­ской?
4. Напишите формулу Эйлера для расчета критической силы и назовите входящие величины и их единицы измерения.
5. Что называют гибкостью стержня, какой смысл заложен в этом названии? Назовите категории стержней в зависимости от гиб­кости.
6. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?
7. При каких условиях можно использовать формулу Эйлера для расчета критической силы?
8. В чем заключается расчет сжатого стержня на устойчивость? Напишите условие устойчивости. Чем отличается допускаемая сжи­мающая сила от критической?