Понятие о методе конечных разностей. Порядок точности разностной схемы
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных во многих случаях осуществляется методом конечных разностей. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ сводит решение дифференциальных уравнений к решению линейных или нелинейных уравнений с достаточно разреженными матрицами. При этом построение решения в методе сеток осуществляется в три этапа.
- • Область непрерывного изменения аргумента (или аргументов) заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых РАЗНОСТНОЙ СЕТКОЙ. В разностной сетке выделяются внутренние и граничные узлы. Решение разыскивается во внутренних узлах, а в граничных узлах значение искомой функции задается при аппроксимации граничных условий исходной дифференциальной задачи. Функция дискретного аргумента, определенная на разностной сетке, называется СЕТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
- • Дифференциальные уравнения и граничные условия заменяются по определенным правилам своими разностными аналогами. Разностные операторы, соответствующие дифференциальному уравнению, записываются во внутренних узлах сетки. Разностные операторы, соответствующие граничным условиям, записываются в граничных узлах. В результате получается система алгебраических уравнений, число которых пропорционально числу внутренних узлов разностной сетки.
- • Осуществляется решение системы алгебраических уравнений каким-либо из известных методов. В большинстве случаев получаемая система уравнений является системой линейных алгебраических уравнений очень большого порядка (как правило, N > 100), но с весьма разреженной матрицей.
В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят их к линейным системам.
Продемонстрируем эти этапы на примере решения задачи Коши для простейшего линейного уравнения первого порядка. Пусть требуется найти решение задачи Коши на интервале (0, 1) для уравнения
Непрерывный интервал можно заменить множеством точек 0, jCj, х2, xn_v хп, 1. Расстояние между точками h называется шагом разностной сетки. В общем случае эти шаги могут быть переменными. Рассмотрим случай постоянного шага и примем Хп
nh. Заменим дифференциальное уравнение разностным в точке хп:
Таким образом, первая производная аппроксимирована односторонней разностью вперед с первым порядком точности. Перепишем уравнение (3.5) в виде
Здесь и(хп _ j + h) = ип, а и(хп_ j) = ип_ г Из (3.6) следует, что
Из рекуррентного соотношения (3.7) имеем точное решение разностного уравнения (3.6)
Очевидно, что точное решение разностных уравнений можно получить лишь для простейших случаев. Точное решение задачи (3.4) имеет вид
Определим погрешность разностного решения. Имеем
Предполагая шаг разностной схемы малым, представим член
Подставляя это выражение в (3.10), получим
Таким образом, величина погрешности имеет первый порядок точности и совпадает в данном случае с порядком аппроксимации производной. В общем случае порядок погрешности решения определяется не только порядком аппроксимации дифференциального уравнения, но и порядком аппроксимации граничных условий.
Говорят, что разностная схема (3.5) имеет первый порядок точности на интервале. Можно показать, что на шаге эта разностная схема имеет второй порядок точности. Представим точное решение в виде ряда Тейлора в точке хп. Имеем
Из соотношений (3.7) и (3.13) следует, что погрешность на шаге имеет порядок 0(Л 2 ). Очевидно, что погрешность на интер-
вале выше на порядок, так как она накапливается по мере увеличения числа шагов. Отметим еще, что погрешность решения стремится к нулю при h —> 0, т. е. решение разностной задачи сходится к точному. Однако для сходимости необходимы не только аппроксимация дифференциального уравнения, но и устойчивость разностной схемы. Не углубляясь в проблему устойчивости, отметим лишь, что свойство устойчивости можно трактовать как равномерную зависимость решения разностной задачи относительно возмущений правых частей и граничных условий от шага Л.
В теории разностных схем доказывается, что разностная схе* ма является сходящейся, если она обладает свойством аппроксимации и устойчива.
Научный форум dxdy
Алгебраический порядок точности численного метода
Есть два стандартных определения порядка точности квадратурной формулы.
1. Это максимальная из степеней, при которой формула точна для всех многочленов данной степени.
2. Это максимально возможный показатель степени в оценке погрешности вида 
, которую даёт эта формула для вообще любой (достаточно гладкой функции.
И есть стандартная теорема, согласно которой эти два числа для любой формулы различаются ровно на 2.
Для практических целей интерес представляет, естественно, только второй вариант определения. Первый же — лишь техническое средство.
Это означает, что
, только чуть более аккуратно сформулировано.
Естественно, квадратурная формула даёт точный результат на многочленах соотв. степени ровно потому, что она получена интегрированием интерполяционного многочлена соответствующей степени с одной стороны и что любой многочлен является интерполяционным для самого себя — с другой.
Но это — лишь гарантированный порядок точности, фактический же может оказаться выше (за счёт симметрии и некоторых других обстоятельств). И теорема, которую я упоминал, никак на интерполяцию не опирается.
Порядок точности методов численного интегрирования.
Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.
Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности 
, если его остаток 
равен нулю для любого полинома степени , но не равен нулю для полинома степени 
.
Понятие о жестких системах. Решение уравнения химической кинетики явным и неявным методом. Обоснование величины шага интегрирования, необходимого для обеспечения устойчивости счета.
Жёсткой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) называется такая система ОДУ, численное решение которой явными методами является неудовлетворительным из-за резкого увеличения числа вычислений (при малом шаге интегрирования) или из-за резкого возрастания погрешности (так называемого, взрыва погрешности) при недостаточно малом шаге. Для жёстких систем характерно то, что для них неявные методы дают лучший результат, обычно несравненно более хороший, чем явные методы.
Постановка краевой задачи для ОДУ. Метод стрельбы.
простейшую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка вида
| x′′ = f(t, x, x′), t ∈ [0, T], |
| x(0) = a, x(T) = b, |
в которой f: [0, T]×R m ×R m → R m ; a, b ∈ R m , а также соответствующую линейную задачу
| x′′ + A(t)x + B(t)x′ = c(t), t ∈ [0, T], |
| x(0) = a, x(T) = b, |
в которой A(t) и B(t) при каждом t ∈ [0, T] линейные операторы на R m (напомним, что мы отождествляем их с соответствующими m× m-матрицами), а c: [0, T] → R m .
Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений.
Постановка краевой задачи для ОДУ. Конечно-разностный метод решения краевой задачи.
Идея метода заключается в сведении краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений путем замены производных в дифференциальном уравнении и краевых условий разностными соотношениями
Методы одномерной минимизации. Понятие оптимизации и целевой функции.
Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.
Целевая функция — вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации (минимизации или максимизации) в целях решения некоторой оптимизационной задачи.
Задачи одномерной минимизации представляют собой простейшую математическую модель оптимизации, в которой целевая функция зависит от одной переменной, а допустимым множеством является отрезок вещественной оси: f(x) -> min , x принадлежит [a, b].
Дата добавления: 2018-11-24 ; просмотров: 1157 ; Мы поможем в написании вашей работы!